Xét hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn $\Large

Xét hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn $\Large 2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$. Tính $\Large \int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x$.

• A.

  $\Large \dfrac{\pi}{4}.$

• B.

  $\Large \dfrac{\pi}{6}.$

• C.

  $\Large \dfrac{\pi}{20}.$

• D.

  $\Large \dfrac{\pi}{16}.$

Chọn C

Ta có: $\Large \int\limits_0^1 \big[2f(x)+3f(1-x)\big]\mathrm{d}x=\int\limits_0^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x \Leftrightarrow A+B=C$.

Tính: $\Large C=\int\limits_0^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x$

Đặt $\Large x=sint$ suy ra $\Large \mathrm{d}x=cost \mathrm{d}t$. Đổi cận: $\Large x=0 \Rightarrow t=0; x=1 \Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}$.

Vậy: $\Large C=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}cos^2t\mathrm{d}t=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1+cos2t}{2}\mathrm{d}t=\left(\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{4}sin2t\right)\Bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{4}$.

Tính: $\Large B=\int\limits_0^13f(1-x)\mathrm{d}x$

Đặt: $\Large t=1-x \Rightarrow \mathrm{d}t=-\mathrm{d}x$. Đổi cận: $\Large x=0 \Rightarrow t=1; x=1 \Rightarrow t=0$.

Vậy: $\Large B=\int\limits_0^13f(t)\mathrm{d}t=\int\limits_0^13f(x)\mathrm{d}x$.

Do đó: $\Large \int\limits_0^1\big[2f(x)+3f(x)\big]\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow 5\int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow \int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{20}$.