Cho hệ phương trình $\Large \left\{\begin{align} & \mathrm{log}_3(x+y)

Cho hệ phương trình $\Large \left\{\begin{align} & \mathrm{log}_3(x+y)=m \\ & \mathrm{log}_2(x^2+y^2)=2m \end{align}\right.,$ trong đó m là tham số thực. Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm nguyên?

• A. 3.
• B. 2.
• C. 1.
• D. Vô số.

Chọn C

$\Large \left\{\begin{align} & \mathrm{log}_3(x+y)=m \\ & \mathrm{log}_2(x^2+y^2)=2m \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x+y=3^m \\ & x^2+y^2=4^m \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x+y=3^m \\ & (x+y)^2-2xy=4^m \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x+y=3^m \\ & xy=\dfrac{9^m-4^m}{2} \end{align}\right.$ (*)

Đặt $\Large S=x+y, P=xy$, hệ có nghiệm khi $\Large S^2 \geq 4P \Leftrightarrow 9^m \geq 4.\dfrac{9^m-4^m}{2} \Leftrightarrow m \leq \mathrm{log}_{\frac{9}{4}}2$. Mặt khác từ $\Large x^2+y^2=4^m$ suy ra $\Large x^2 \leq 4^m \Leftrightarrow -2^m \leq x \leq 2^m \leq 2^{\mathrm{log}_{\frac{9}{4}}2}, x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \begin{Bmatrix}
-1; 0; 1
\end{Bmatrix}$. Tương tự $\Large y \in \begin{Bmatrix} -1; 0; 1 \end{Bmatrix}$.

Vì $\Large x+y=3^m > 0$ nên $\Large x, y \neq -1 \Rightarrow x, y \in \begin{Bmatrix} 0; 1 \end{Bmatrix}$. Các nghiệm nguyên có thể của hệ là (0; 0); (0; 1); (1; 0); (1; 1). Thử lại vào hệ (*) ta được:

Với $\Large (x, y)=(0; 0)$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & 0=3^m \\ & 0=4^m \end{align}\right.$ vô lý

Với $\Large (x, y)=(0; 1)$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & 1=3^m \\ & 1=4^m \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow m=0$

Với $\Large (x, y)=(1; 0)$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & 1=3^m \\ & 1=4^m \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow m=0$

Với $\Large (x, y)=(1; 1)$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & 2=3^m \\ & 2=4^m \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & m=\mathrm{log}_32 \\ & m=\dfrac{1}{2} \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow m \in \varnothing $

Vậy $\Large m=0$ thì hệ có đúng 2 nghiệm nguyên là (0; 1); (1; 0).