Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số $\Large f(x)=|x^2+ax+b|$ trên đoạ

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số $\Large f(x)=|x^2+ax+b|$ trên đoạn [-1; 3]. Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, tính $\Large a+2b$.

• A. 7.
• B. -5.
• C. -4.
• D. -6.

$\Large \left\{\begin{align} & M \geq f(-1) \\ & M \geq f(3) \\ & M \geq f(1) \end{align}\right.$ $\Large \left\{\begin{align} & M \geq |1-a+b| \\ & M \geq |9+3a+b| \\ & M \geq |1+a+b| \end{align}\right.$

$\Large \Rightarrow 4M \geq |1-a+b|+|9+3a+b|+2|-1-a-b|$

$\Large  \geq |1-a+b+9+3a+b+2(-1-a-b)|$ $\Large \Rightarrow 4M \geq 8 \Rightarrow M \geq 2$

Nếu $\Large M=2$ thì điều kiện cần là $\Large |1-a+b|=|9+3a+b|=|-1-a-b|=2$ và $\Large 1-a+b, 9+3a+b, -1-a-b$ cùng dấu $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & 1-a+b=9+3a+b=-1-a-b=2 \\ & 1-a+b=9+3a+b=-1-a-b=-2 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & a=-2 \\ & b=-1 \end{align}\right.$

Ngược lại, với $\Large \left\{\begin{align} & a=-2 \\ & b=-1 \end{align}\right.,$ xét $\Large f(x)=|x^2-2x-1|$ trên [-1; 3].

Đặt $\Large g(x)=x^2-2x-1 \Rightarrow {g}'(x)=2x-2=0 \Leftrightarrow x=1$. Khi đó $\Large M=max\begin{Bmatrix} |g(-1)|; |g(1)|; |g(3)|\end{Bmatrix}=2$