Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức $\Lar

Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức $\Large (\sqrt[3]{3}+\sqrt[5]{5})^{2019}$

• A. 403
• B. 135
• C. 136
• D. 134

Ta có $\Large (\sqrt[3]{3}+\sqrt[5]{5})^{2019}=\sum_{k=0}^{2019} C _{2019}^{k} \cdot(\sqrt[3]{3})^{2019-k}$

$\Large (\sqrt[5]{5})^{k}=\sum_{k=0}^{2019} C _{2019}^{k} \cdot 3^{\dfrac{2019-k}{3}} \cdot 5^{\dfrac{k}{5}}$

Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì

$\Large \left\{\begin{array}{l} k \in N \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ \dfrac{2019-k}{3} \in N \\ \dfrac{k}{5} \in N \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} k \in N \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ 673-\dfrac{k}{3} \in N \\ \dfrac{k}{5} \in N \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} k \in N \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ k: 15 . \end{array}\right.\right.\right.$

Cách 1: 

Ta có $\Large k:15 \Rightarrow k=15 m$ mà $\Large 0 \leq k \leq 2019 \Leftrightarrow0 \leq 15 m \leq 2019 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 134,6$. Suy ra có 135 số hạng là só nguyên trong khai triển biêu thức

Cách 2

Số lớn nhất bé hơn 2019 và chia hết cho 15 là 2010

Các số k cần tìm tạo thành cấp số cộng có n số hạng, số hạng đầu $\Large u_1=0$, số hạng cuối $\Large u_n=2010$ và công sai $\Large d=15$

Ta có $\Large u_{n}=u_{1}+(n-1) \cdot d \Leftrightarrow n=135$

Chọn đáp án B