Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\Large m\in[-2020;2020]$ để h

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\Large m\in[-2020;2020]$ để hàm số $\Large y=\dfrac{\cos x-2}{\cos x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\Large \left(0;\dfrac{\pi}{3}\right)$?

• A. 2018
• B. 2021
• C. 2022
• D. 2020

Đặt $\Large t=\cos x$, khi $\Large x\in \left(0;\dfrac{\pi}{3}\right)$ thì $\Large t\in\left(\dfrac{1}[2};1\right)$

Hàm số đã cho trở thành $\Large y=\dfrac{t-2}{t-m}$, ta có $\Large y'=\dfrac{2-m}{(t-m)^{2},\forall t\neq m$

Vì $\Large t'=-\sin x < 0, \forall x \in \left(0;\dfrac{\pi}{3}\right)$ nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\Large \left(0;\dfrac{\pi}{3}\right) khi và chỉ khi hàm số $\Large y=\dfrac{t-2}{t-m}$ đồng biến trên $\Large \left(\dfrac{1}{2};1\right)\Leftrightarrow$ $\Large \left\{\begin{align}&2-m > 0\\&m\notin \left(\dfrac{1}{2};1\right)$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&m < 2\\&\left[\begin{align}&m \leq \dfrac{1}{2}\Rightarrow m \in \left(-\infty;\dfrac{1}[2}\right]\cup [1;2)\\&m \geq 1\\\end{align}\right.\\\end{align}\right.$

Vì $\Large m\in \mathbb{Z}$ và $\Large m\in [-2020;2020]$ nên có 2022 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán