Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\Large m$ để đồ thị hàm số $\

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\Large m$ để đồ thị hàm số $\Large y=mx^3-(2m-1)x^2+2mx-m-1$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

• A. 4.
• B. 2.
• C. 1.
• D. 3.

Để đồ thị hàm số $\Large y=mx^3-(2m-1)x^2+2mx-m-1$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình $\Large mx^3-(2m-1)x^2+2mx-m-1=0$ (1) có ba nghiệm phân biệt.

Ta có: $\Large mx^3-(2m-1)x^2+2mx-m-1=0$

$\Large \Leftrightarrow (x-1)\left[mx^2+(1-m)x+m+1\right]=0$

$\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & x=1 \\ & f(x)=mx^2+(1-m)x+m+1=0\ (2) \end{align}\right.$ 

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

$\Large \left\{\begin{align} & m\neq 0 \\ & \Delta > 0 \\ & f(1)\neq 0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & m\neq 0 \\ & (1-m)^2-4m(m+1) > 0 \\ & m+1-m+m+1\neq 0 \end{align}\right.$

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & m\neq 0 \\ & -3m^2-6m+1 > 0 \\ & m\neq -2 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & m\neq 0 \\ & \dfrac{-3-2\sqrt{3}}{3} < m < \dfrac{-3+2\sqrt{3}}{3} \\ & m\neq -2 \end{align}\right.$

Mặt khác ta có $\Large m \in \mathbb{Z}\Rightarrow m=-1$.