Có bao nhiêu cặp số thực dương $\large (a; b)$ thỏa mãn $\large \log_2

Có bao nhiêu cặp số thực dương $\large (a; b)$ thỏa mãn $\large \log_2 a$ là số nguyên dương, $\large \log_2a=1+\log_3b$ và $\large a^2+b^2<2020^2?$

• A.

  8

• B.

  6

• C.

  7

• D.

  5

Đặt: $\Large \log_2a=k\Rightarrow a=2^k (k\in\mathbb{Z^*})$

Ta có:

$\Large \log_2a=1+\log_3b\Leftrightarrow \log_2a=\log_3(3b)\Leftrightarrow k=\log_3(3b)\Leftrightarrow 3b=3^k\Rightarrow b=3^{k-1}$

Mà: 

$\Large a^2+b^2<2020^2\Leftrightarrow (2^k)^2+(3^{k-1})^2<2020^2\Rightarrow (3^{k-1})^2<2020^2\Rightarrow 3^{k-1}<2020\Rightarrow k-1<7\Rightarrow k<8$

$\Large +) k=1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=2\\ b=1\\ a^2+b^2=5\end{matrix}\right. (tm)$

$\Large +) k=2 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=4\\ b=3\\ a^2+b^2=25\end{matrix}\right. (tm)$

$\Large +) k=3 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=8\\ b=9\\ a^2+b^2=145\end{matrix}\right. (tm)$

$\Large +) k=4 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=16\\ b=27\\a^2+b^2=985\end{matrix}\right. (tm)$

$\Large +) k=5 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=32\\ b=81\\ a^2+b^2=7585\end{matrix}\right. (tm)$

$\Large +) k=6 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=64\\ b=243\\ a^2+b^2=63145\end{matrix}\right. (tm)$

$\Large +) k=7 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=16\\ b=27\\ a^2+b^2=547825\end{matrix}\right. (tm)$

Vậy có 7 cặp số thực dương thỏa.