Cho tứ diện $\large ABCD$ có các cạnh $\large AB=BC=CD=DA=1$ và $\larg

Cho tứ diện $\large ABCD$ có các cạnh $\large AB=BC=CD=DA=1$ và $\large AC,BD$ thay đổi. Thể tích $\large ABCD$ đạt giá trị lớn nhất bằng:

• A.

  A. $\large\frac{2\sqrt{3}}{9}$

• B.

  B. $\large\frac{2\sqrt{3}}{27}$

• C.

  C. $\large\frac{4\sqrt{3}}{9}$

• D.

  D. $\large\frac{4\sqrt{3}}{27}$

Đặt $\large AC=x,BD=y (x,y> 0)$

Gọi $\large E,F$ lần lượt là trung điểm $\large AC,BD$

$\large\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADC(c.c.c)\Rightarrow DE=BE\Rightarrow EF\perp BD$. Chứng minh tương tự $\large EF\perp AC$

Suy ra $\large EF$ là đoạn vuông góc chung của $\large AC,BD$

Ta có $\large\left\{\begin{align}AC\perp EF\\ AC\perp BE\end{align}\right.$ $\large\Rightarrow AC\perp (BED)$

$\large V_{ABCD}=2V_{ABDE}=2\frac{1}{3}AE.S_{\bigtriangleup BED}=\frac{2}{3}AE.EF.BF=\frac{2}{3}\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{y}{2}\cdot EF$ (1)

Trong $\large\bigtriangleup BEF:EF^{2}=BE^{2}-BF^{2}=1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}$.

Ta có:

$\large  V_{ABCD}^{2}=\frac{1}{144}\cdot x^{2}\cdot y^{2}\cdot (4-x^{2}-y^{2})\leq \frac{1}{144}\left ( \dfrac{x^{2}+y^{2}+(4-x^{2}-y^{2})}{3} \right )^{3}=\frac{4}{243}\Leftrightarrow maxV_{ABCD}=\frac{2\sqrt{3}}{27}$

Dấu "=" xảy ra khi $\large x^{2}=y^{2}=4-x^{2}-y^{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{2\sqrt{3}}{27}$

Đáp án B