Cho tích phân $\Large \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}}{

Cho tích phân $\Large \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{\sin x}{\cos x+2}dx=a\ln 5+b\ln 2}$ với $\Large a,b\in Z$. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

• A.

  $\Large 2a+b=0$

• B.

  $\Large a-2b=0$

• C.

  $\Large 2a-b=0$

• D.

  $\Large a+2b=0$

Đặt $\Large t=\cos x+2\Rightarrow dt=-\sin xdx\Rightarrow \sin xdx=-dt$

Đổi cận: $\Large \left\{ \begin{align}  & x=\dfrac{\pi }{3} \\  & x=\dfrac{\pi }{2} \\ \end{align} \right.$ $\Large \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\dfrac{5}{2} \\  & t=2 \\ \end{align} \right.$ 

Suy ra $\Large a\ln 5+b\ln 2=\int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{\sin x}{\cos x+2}dx=\int\limits_{\dfrac{5}{2}}^{2}{\dfrac{-dt}{t}}}$ $\Large =-\ln \left| t \right|\left| \begin{align}  & 2 \\  & \dfrac{5}{2} \\ \end{align} \right.$ $\Large =-\left( \ln 2-\ln \dfrac{5}{2} \right)=\ln 5-2\ln 2$

Do đó $\Large a=1,b=-2$ nên $\Large 2a+b=0$

Chọn đáp án A