Cho số phức z thỏa mãn $\large |(1+i) z+2|+|(1+i) z-2|=4 \sqrt{2}$. Gọ

Cho số phức z thỏa mãn $\large |(1+i) z+2|+|(1+i) z-2|=4 \sqrt{2}$. Gọi $\large m=\max |z| ; \mathrm{n}=\min |z|$ và số phức $\large w=m+n i$. Tính $\large |w|^{2018}$ 

• A.

  A. $\large 4^{1009}$

• B.

  B. $\large 5^{1009}$

• C.

  C. $\large 6^{1009}$

• D.

  D. $\large 2^{1009}$

Chọn C
Gọi $\large z=x+y i(x, y \in \mathbb{R})$.
Ta có $\large |(1+i) z+2|+|(1+i) z-2|=4 \sqrt{2}$
$\large \begin{array}{l}
\Leftrightarrow|(1+i) z+(1+i)(1-i)|+|(1+i) z-(1+i)(1-i)|=4 \sqrt{2} \\
\Leftrightarrow|(1+i)(z+1-i)|+|(1+i)(z-1+i)|=4 \sqrt{2} \\
\Leftrightarrow|1+i||z+1-i|+|1+i||z-1+i|=4 \sqrt{2} \\
\Leftrightarrow|z+1-i|+|z-1+i|=4 \Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+(y-1)^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}=4\left(^{*}\right)
\end{array}$
Gọi $\large M(x, y), F_{1}(-1 ; 1), F_{2}(1 ;-1)$. Ta có $\large (*) \Leftrightarrow M F_{1}+M F_{2}=4$.
Do đó tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z là một Elip có hai tiêu điểm là $\large F_{1}, F_{2}$; tiêu cự bằng $\large \dfrac{1}{2} F_{1} F_{2}=\sqrt{2}$; độ dài trục lớn bằng $\large M F_{1}+M F_{2}=4$; một nửa độ dài trục bé bằng $\large \sqrt{2}$
Ta có $\large m=\max |z|=2$ (bằng một nửa độ dài trục lớn); $\large n=\min |z|=\sqrt{2}$ (bằng một nửa độ dài trục bé).
$\large \Rightarrow w=2+\left.\sqrt{2} i \Rightarrow|w=\sqrt{6} \Rightarrow| w\right|^{2018}=(\sqrt{6})^{2018}=6^{1009}$.