Với hai số phức $\large z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $\large z_{1}+z_{2}=8+6

Với hai số phức $\large z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $\large z_{1}+z_{2}=8+6 i$ và $\large \left|z_{1}-z_{2}\right|=2$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\large P=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$ là:

• A.

  A. $\large 5+3 \sqrt{5}$

• B.

  B. $\large 2 \sqrt{26}$

• C.

  C. $\large 4 \sqrt{6}$

• D.

  D. $\large 34+3 \sqrt{2}$

Chọn B
Đặt $\large z_{1}=a+b i, z_{2}=c+d i,(a, b, c, d \in \mathbb{R})$
Ta có: $\large z_{1}+z_{2}=8+6 i$ nên $\large a+b i+c+d i=8+6 i \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a+c=8 \\
b+d=6
\end{array}\right.$.
Do đó $\large (a+c)^{2}+(b+d)^{2}=100 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=100-2 a c-2 b d\quad(1)$
Vì $\large \left|z_{1}-z_{2}\right|=2$ nên ta có:
$\large |a+b i-c-di|=2 \Leftrightarrow(a-c)^{2}+(b-d)^{2}=4 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4+2 a c+2 b d\quad(2)$.
Cộng (1) và (2) ta được: $\large 2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=104$
Áp dụng bất đẳng thức $\large 2\left(x^{2}+y^{2}\right) \geq(x+y)^{2}$ ta có:
$\large P^{2}=\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\right)^{2} \leq 2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=104$
Do đó $\large P \leq 2 \sqrt{26}$
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $\large 2 \sqrt{26}$.