Cho biết $\large \left|z+\dfrac{4}{z}\right|=2$. Tìm giá trị lớn nhất

Cho biết $\large \left|z+\dfrac{4}{z}\right|=2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\large P=|z|^{2}+|z|+1 $?

• A.

  A. $\large 8-3 \sqrt{5}$

• B.

  B. $\large 6+ \sqrt{5}$

• C.

  C. $\large 6+ \sqrt{5}$

• D.

  D. $\large 8+3 \sqrt{5}$

Ta có $\large 4=\left(z+\dfrac{4}{z}\right)\left(\bar{z}+\dfrac{4}{z}\right)=|z|^{2}+\dfrac{16}{|z|^{2}}+4\left(\dfrac{z}{\bar{z}}+\dfrac{\bar{z}}{z}\right)$
$\large \Rightarrow 4=|z|^{2}+\dfrac{16}{|z|^{2}}+4 \cdot \dfrac{z^{2}+\bar{z}^{2}}{|z|^{2}}=|z|^{2}+\dfrac{16}{|z|^{2}}+4 \cdot \dfrac{\left(z+\bar{z}^{2}\right)-2|z|^{2}}{|z|^{2}}$
Vì $\large \left(z+\bar{z}^{2}\right)=4[\operatorname{Re}(z)]^{2} \geq 0$ do đó $\large 4 \geq|z|^{2}+\dfrac{16}{|z|^{2}}-8$
$\large \Rightarrow|z|^{4}-12|z|^{2}+16 \leq 0 \Rightarrow 6-2 \sqrt{5} \leq|z|^{2} \leq 6+2 \sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{5}-1 \leq|z| \leqslant \sqrt{5}+1 \Rightarrow P \leq 8+3 \sqrt{5}$.
Chọn D