Cho số a > 0. Trong số các tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông v

Cho số a > 0. Trong số các tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a, tam giác có diện tích lớn nhất bằng

• A.

  $\large \dfrac {\sqrt {3} a^{2}}{3}$

• B.

  $\large \dfrac {\sqrt {3} a^{2}}{6}$

• C.

  $\large \dfrac {\sqrt {3} a^{2}}{9}$

• D.

  $\large \dfrac {\sqrt {3} a^{2}}{18}$

Đặt $\large AB = x, 0 < a < \dfrac {a}{2}$
Theo giả thiết: $\large AB + BC = a \Leftrightarrow BC = a - x$
Tam giác ABC vuông tại A: $\large AC = \sqrt {BC^{2} - AB^{2}} = \sqrt {a^{2} - 2ax}$
Diện tích tam giác ABC: $\large S_{ABC} = \dfrac {1}{2} x \sqrt {a^{2} - 2ax} = \dfrac {\sqrt {a}}{2}  \sqrt {x^{2}(a - 2x)}$
Theo bất đẳng thức Cô - si ta có:
$\large \dfrac {\sqrt {a}}{2}  \sqrt {x.x(a - 2x)} \leq \dfrac {\sqrt {a}}{2} \sqrt {\left(\dfrac {x + x + a - 2x}{3}\right)^{3}} = \dfrac {\sqrt {3} a^{2}}{18}$
Dấu "=" xảy ra khi $\large x = a - 2x \Leftrightarrow x = \dfrac {a}{3}$
Vậy tam giác có diện tích lớn nhất là  $\large \dfrac {\sqrt {3} a^{2}}{18}$