Xét các số nguyên dương $\large a, b$ sao cho phương trình $\large a \

Xét các số nguyên dương $\large a, b$ sao cho phương trình $\large a \ln^{2} x + b \ln x + 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\large x_{1}, x_{2}$ và phương trình $\large 5\log^{2} x + b \log x  + a = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\large x_{3}, x_{4}$ sao cho $\large x_{1} . x_{2} > x_{3} . x_{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất $\large S = 2a + 3b$

• A.

  30

• B.

  25

• C.

  33

• D.

  17

$\large a \ln^{2} x+ b \ln x + 5 = 0$ (1) 
$\large 5\log^{2} x + b \log x  + a = 0$ (2) 
Điều kiện để (1) có 2 nghiệm phân biệt $\large x_{1}, x_{2}$ và (2) có 2 nghiệm phân biệt $\large x_{3}, x_{4}$ là $\large b^{2} - 20a > 0 \Leftrightarrow b^{2} > 20a$
Nhận xét  $\large x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} > 0$
Do đó  $\large x_{1} . x_{2} > x_{3} . x_{4} \Leftrightarrow \ln (x_{1} . x_{2}) > \ln (x_{3} . x_{4}) \Leftrightarrow \ln (x_{1} . x_{2}) > \dfrac { \log (x_{3} . x_{4})}{\log e}$
$\large \Leftrightarrow (\ln x_{1} + \ln x_{2}) \log e > \log x_{3} + \log x_{4}$
Mà $\large \ln x_{1} + \ln x_{2} = - \dfrac {b}{a}; \log x_{3} + \log x_{4} = - \dfrac {b}{5}$ và $\large a, b$ nguyên dương
Nên $\large - \dfrac {b}{a} \log e > - \dfrac {b}{5} \Leftrightarrow a > 5 \log e$
Vì a là nguyên dương và $\large 5 \log e \approx 2,17$ nên $\large a \geq 3$
$\large \Rightarrow 20a \geq 60 \Rightarrow b^{2} > 60 \Rightarrow b > \sqrt {60} (b > 0)$
Vì b là nguyên dương và $\large \sqrt {60} \approx 7,75$ nên $\large b \geq 8$
Do đó $\large S = 2a + 3b \geq 30  \Rightarrow$ Giá trị nhỏ nhất của S là 30 khi a = 3; b = 8