Cho hàm số $\large f(x)$ liên tục trên [2; 4] và có bảng biến thiên nh

Cho hàm số $\large f(x)$ liên tục trên [2; 4] và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $\large x + 2\sqrt{x^2-2x}= m.f(x)$ có nghiệ m thuộc đoạn [2; 4] ?

• A.

  6

• B.

  5

• C.

  4

• D.

  3

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\large \underset{[2;4]}{Min} f(x) = f(4) = 2$ và $\large \underset{[2;4]}{Max} f(x) = f(2) = 4$
Hàm số $\large g(x) = x + 2 \sqrt {x^{2} -2x}$ liên tục và đồng biến trên [2;4]
Suy ra $\large \underset{[2;4]}{Min} g(x) = g(2) = 2$ và $\large \underset{[2;4]}{Min} g(x) = g(4) = 4 + 4 \sqrt {2}$
Ta có $\large x + 2 \sqrt {x^{2} -2x} = m.f(x) \Leftrightarrow \dfrac { x + 2 \sqrt {x^{2} -2x}}{f(x)} = m \Leftrightarrow \dfrac {g(x)}{f(x)} = m$
Xét hàm số $\large h(x) = \dfrac {g(x)}{f(x)}$ liên tục trên [2;4]
Vì g(x) nhỏ nhất và f(x) lớn nhất đồng thời xảy ra tại x = 2 nên 
$\large \underset{[2;4]}{Min } h(x) = \dfrac {\underset{[2;4]}{Min} g(x)}{\underset{[2;4]}{Max} f(x)} = \dfrac {g(2)}{f(2)} = h(2) = \dfrac {1}{2}$
Vì g(x) lớn nhất và f(x) nhỏ nhất đồng thời xảy ra tại x = 4 nên 
$\large \underset{[2;4]}{Max} h(x) = \dfrac {\underset{[2;4]}{Max} g(x)}{\underset{[2;4]}{Min} f(x)} = \dfrac {g(4)}{f(4)} = h(4) = 2 + 2 \sqrt {2}$
Từ đó suy ra phương trình h(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi $\large \dfrac {1}{2} \leq m \leq 2 + 2 \sqrt {2}$
Vậy có 4 giá trị nguyên để phương trình có nghiệm