Cho n là số dương thỏa mãn $\Large 5 C_{n}^{n-1}=C_{n}^{3}$. Số hạng c

Cho n là số dương thỏa mãn $\Large 5 C_{n}^{n-1}=C_{n}^{3}$. Số hạng chứa $\Large x^5$ trong khai triển nhị thức Newton $\Large P=\left(\dfrac{n x^{2}}{14}-\dfrac{1}{x}\right)^{n}$ với $\Large x \neq 0$ là?

• A. $\Large -\dfrac{35}{16}$
• B. $\Large -\dfrac{16}{35}$
• C. $\Large -\dfrac{35}{16} x^{5}$
• D. $\Large -\dfrac{16}{35} x^{5}$

Chọn C

Điều kiện $\Large n \in N, n \geq 3$

Ta có: $\Large 5 C_{n}^{n-1}=C_{n}^{3} \quad \Leftrightarrow \dfrac{5 . n !}{1 ! \cdot(n-1) !}=\dfrac{n !}{3 ! \cdot(n-3) !}$$\Large \Leftrightarrow \dfrac{5}{(n-3) !(n-2)(n-1)}=\dfrac{1}{6(n-3) !}$

$\Large \Leftrightarrow n^{2}-3 n-28=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} n=7 \text { (thỏa mãn) } \\ n=-4 \text { (loại) } \end{array}\right.$

Với $\Large n=7$ ta có $\Large P=\left(\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{1}{x}\right)^{7}$

$\Large P=\left(\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{1}{x}\right)^{7}=\sum_{k=0}^{7} C_{7}^{k}\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)^{7-k}\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{k}=\sum_{k=0}^{7} C_{7}^{k} \dfrac{1}{2^{7-k}} \cdot(-1)^{7-k} x^{14-3 k}$

Số hạng chứa $\Large x^5$ tương ứng với $\Large 14-3 k=5 \Leftrightarrow k=3$

Vậy số hạng chứa $\Large x^5$ trong khai triển là $\Large C_{7}^{4} \cdot \dfrac{1}{2^{4}} \cdot(-1)^{3}=-\dfrac{35}{16}x^5$