Cho một hình nón có bán kính đáy bằng 2a. Mặt phẳng $\large (P)$ đi qu

Cho một hình nón có bán kính đáy bằng 2a. Mặt phẳng $\large (P)$ đi qua đỉnh $\large (S)$ của hình nón, cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho $\large AB = 2a \sqrt {3}$, khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng $\large (P)$ bằng $\large \dfrac {a \sqrt {2}}{2}$. Thể tích khối nón đã cho bằng

• A.

  $\large \dfrac {8 \pi a^{3}}{3}$

• B.

  $\large \dfrac {4 \pi a^{3}}{3}$

• C.

  $\large \dfrac {2 \pi a^{3}}{3}$

• D.

  $\large \dfrac { \pi a^{3}}{3}$

Gọi C là trung điểm của AB, O là tâm của đáy. Khi đó $\large \left\{\begin{matrix} SO \perp AB \\ OC \perp AB \end{matrix}\right. \Rightarrow (SOC) \perp AB$. Gọi H là  hình chiếu của O lên SC thì $\large OH \perp (SAB)$ nên $\large OH = \dfrac {a \sqrt {2}}{2}$
$\large OB = 2a, BC = a \sqrt {3} \Rightarrow OC = a$. Xét tam giác vuông SOC: $\large \dfrac {1}{SO^{2}} = \dfrac {1}{OH^{2}} - \dfrac {1}{OC^{2}} = \dfrac {1}{a^{2}} \Rightarrow SO = a$
Vậy thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho là $\large \dfrac {1}{3} \pi . (2a)^{2} .a = \dfrac {4 \pi a^{3}}{3}$