Cho hình chóp tứ giác đều $\large S.ABCD$ có thể tích bằng 1. Gọi M là

Cho hình chóp tứ giác đều $\large S.ABCD$ có thể tích bằng 1. Gọi M là trung điểm của SA và N là điểm đối xứng của của A qua D. Mặt phẳng $\large (BMN)$ chia khối chóp thành hai khối đa diện. Gọi $\large (H)$ là khối đa diện có chứa đỉnh. Thể tích của khối đa diện $\large (H)$ bằng

• A.

  $\large \dfrac {7}{12}$

• B.

  $\large \dfrac {4}{7}$

• C.

  $\large \dfrac {5}{12}$

• D.

  $\large \dfrac {3}{7}$

Gọi O là tâm của hình vuông $\large ABCD$ ta có SO là chiều cao của hình chóp.
Trong mặt phẳng $\large (SAD)$ gọi I là giao điểm của MN và SD ta suy ra I là trọng tâm của tam giác SAN do đó: $\large \dfrac {SI}{SD} = \dfrac {NI}{NM} = \dfrac {2}{3}$ 
Trong mặt phẳng $\large (ABCD)$ gọi J là giao điểm của BN và CD ta suy ra J là trung điểm của CD và BN .
Ta có: $\large S_{\Delta ABN} = S_{ABCD}$ và $\large d(M,(ABCD)) = \dfrac {1}{2} SO$ suy ra $\large V_{MABN} = \dfrac {1}{2} V_{S.ABCD}$ (1)
Từ giả thiết ta có: $\large V_{(H)} = V_{S.ABCD} - V_{ABM.DIJ}$ (2)
Xét trong khối chóp $\large N.ABM$ áp dụng công thức tính tỷ số thể tích ta có
$\large \dfrac {V_{NDJI}}{V_{NABM}} = \dfrac {NI}{NM} . \dfrac {ND}{NA} . \dfrac {NJ}{NB} = \dfrac {1}{6} \Leftrightarrow V_{NDJI} = \dfrac {1}{6} V_{NABM}$ do vậy $\large V_{ABM.DIJ} = \dfrac {5}{6} V_{NABM} = \dfrac {5}{6} V_{MABN}$
Từ (1), (2) và (3) suy ra thể tích của $\large (H)$ là 
$\large V_{H} = V_{S.ABCD} - \dfrac {5}{6} . \dfrac {1}{2} V_{S.ABCD} = \dfrac {7}{12}$