Cho hàm số $\large f(x) = x^{3} - 3x^{2} + m + 1$($\large m$ là tham s

Cho hàm số $\large f(x) = x^{3} - 3x^{2} + m + 1$($\large m$ là tham số thực). Gọi $\large S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $\large m$ thuộc đoạn [-2020; 2020] sao cho $\large \underset{[1;4]}{max} \left | f(x) \right | \leq 3 \underset{[1;4]}{min} \left | f(x) \right |$. Số phần tử của $\large S$

• A.

  4003

• B.

  4002

• C.

  4004

• D.

  4001

Xét hàm số $\large y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + m + 1 \Rightarrow y' = f'(x) = 3x^{2} - 6x$
$\large f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{align} &x = 0 (l)\\& x = 2 \end{align}\right.$
$\large f(1) = m - 1; f(2) = m - 3; f(4) = 17 + m$
$\large \underset{[1;4]}{max} f(x) = m + 17; \underset{[1;4]}{min} f(x) = m - 3$
+ Nếu $\large m - 3 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 3$ thì $\large \underset{[1;4]}{max} \left | f(x) \right | = m + 17; \underset{[1;4]}{min} \left | f(x) \right | = m - 3$
Khi đó  $\large \underset{[1;4]}{max} \left | f(x) \right | \leq 3 \underset{[1;4]}{min} \left | f(x) \right | \Leftrightarrow 17 + m \leq 3(m - 3) \Leftrightarrow m \geq 13$
+ Nếu $\large m + 17 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq -17$ thì $\large \underset{[1;4]}{max} \left | f(x) \right | = -m + 3; \underset{[1;4]}{min} \left | f(x) \right | = -17 - m$
Khi đó  $\large \underset{[1;4]}{max} \left | f(x) \right | \leq 3 \underset{[1;4]}{min} \left | f(x) \right | \Leftrightarrow -m + 3 \leq 3(-17 - m) \Leftrightarrow m \leq -27$
+ Nếu $\large (m - 3)(m + 17) < 0 \Leftrightarrow -17 < m < 3$ thì 
$\large \underset{[1;4]}{max} \left | f(x) \right | =\underset{[1;4]}{max}\left \{ \left | m+17 \right |,\left | m-3 \right | \right \}=\underset{[1;4]}{max}\left \{ m+17,3-m \right \} > 0; \underset{[1;4]}{min} \left | f(x) \right | = 0$

Khí đó, không thỏa mãn điều kiện $\large \underset{[1;4]}{max} \left | f(x) \right | \leq 3 \underset{[1;4]}{min} \left | f(x) \right | $
Do đó: $\large \left[\begin{align} & m \leq -27 \\ & m \geq 13 \end{align}\right.$ kết hợp với $\large m \in [-2020; 2020]$ ta có $\large m \in [-2020; -27] \cup [13; 2020]$
Vậy 4002 giá trị nguyên của m cần tìm.