Cho các số thực $\large x, y$ thỏa mãn $\large x >1, y > 1$ và $\large

Cho các số thực $\large x, y$ thỏa mãn $\large x >1, y > 1$ và $\large log_{3} x . log_{3} 6y + 2log_{3} x . log_{3} 2y (3 - log_{3} 2xy) = \dfrac {9}{2}$. Giá trị biểu thức $\large x + 2y$ gần với số nào nhất trong các số sau

• A.

  7

• B.

  8

• C.

  9

• D.

  10

Đặt $\large a = log_{3} x; b = log_{3} 2y$. Do $\large x >1, y > 1$ nên $\large a >0, b > log_{3}2$
Theo giả thiết ta có: $\large a (b + 1) + 2ab (3 - a - b) = \dfrac {9}{2} \Leftrightarrow 2a^{2}b + a(2b^{2} - 7b - 1) + \dfrac {9}{2} = 0$  (1)
Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn $\large a,b$ là tham số. Để phương trình (1) có nghiệm $\large a > 0$ thì
$\large \left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ - \dfrac {2b^{2} - 7b - 1}{2b} > 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2b^{2} - 7b - 1)^{2} - 36b \geq 0 \\ 2b^{2} - 7b - 1 < 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4b^{4} - 28b^{3} + 45b^{2} - 22b +1 \geq 0\\ 2b^{2} - 7b - 1 < 0 \end{matrix}\right.$ 
$\large  \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (b - 1)^{2} (4b^{2} - 20b +1)  \geq 0 \\ 2b^{2} - 7b - 1 < 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$ $\large \left[\begin{align} &b = 1 \\ & \left\{\begin{matrix} 4b^{2} - 20b +1 \geq 0 \\  2b^{2} - 7b - 1 < 0\end{matrix}\right. \end{align}\right.$
Với $\large b = 1 \Rightarrow 2a^{2} - 6a + \dfrac {9}{2} = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac {3}{2}$. Khi đó $\large P = x + 2y = 3^{\dfrac {3}{2}} + 3 \approx 8,1$
Với $\large \left\{\begin{matrix} 4b^{2} - 20b +1 \geq 0 \\  2b^{2} - 7b - 1 < 0\end{matrix}\right.$ : hệ vô nghiệm do $\large b > log_{3}2$
Vậy giá trị biểu thức $\large P = x + 2y$ gần nhất với 8.