Cho hàm số $\large y = f(x)$ có $\large f(0) = 1$ và $\large f'(x) = t

Cho hàm số $\large y = f(x)$ có $\large f(0) = 1$ và $\large f'(x) = tan^{3} x + tan x$, với mọi $\large x \in \mathbb{R}$. Biết $\large \int\limits_{0}^{\dfrac {\pi}{4}}f(x)\mathrm{d}x = \dfrac {a + \pi}{b}; a,b \in \mathbb{Q}$ khi đó $\large b - a$ bằng 

• A.

  4

• B.

  12

• C.

  0

• D.

  -4

Từ giả thiết $\large f'(x) = tan^{3} x + tan x$, với mọi $\large x \in \mathbb{R}$ ta có: 
$\large f(x) = \int\limits f'(x)\mathrm{d}x = \int\limits (tan^{3} x + tan x)\mathrm{d}x = \int\limits tan x (1 + tan^{2}) \mathrm{d}x = \int\limits tan x . \mathrm{d}(tan x) = \dfrac {1}{2} tan^{2} x + C$
Ta có $\large f(0) = 1$ suy ra C = 1 vậy $\large f(x) = \dfrac {1}{2} tan^{2} x + 1$
Tích phân $\large \int\limits_{0}^{\dfrac {\pi}{4}}f(x)\mathrm{d}x = \dfrac {1}{2} \int\limits_{0}^{\dfrac {\pi}{4}} (tan^{2} x + 2)\mathrm{d}x = \dfrac {1}{2} \int\limits_{0}^{\dfrac {\pi}{4}} (tan^{2} x + 1 + 1)\mathrm{d}x = \dfrac {1}{2}(tan x + x)|^{\dfrac {\pi}{4}}_{0} = \dfrac {1}{2}(1 + \dfrac {\pi}{4}) = \dfrac {4 + \pi}{8}$
Từ đây ta được $\large \left\{\begin{matrix} a = 4 \\ b = 8 \end{matrix}\right. \Rightarrow b - a = 4$
Vậy $\large b - a = 4$