Cho hình thoi ABCD có tâm O, $\large $. Lấy điểm S không thuộc ABCD sa

Cho hình thoi ABCD có tâm O, $\large $. Lấy điểm S không thuộc ABCD sao cho $\large \widehat{ADC}= 60^\circ ,\, AC=2a$. Gọi $\large \alpha $ là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  (ABCD) và $\large SO\perp (ABCD)$. Gọi $\large \beta $ là góc giữa SC và (ABCD), chọn mệnh đề đúng

• A. $\large \sin\beta= \dfrac{1}{2}$
• B. $\large \cot\beta= $
• C. $\large \tan\beta= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• D. $\large \beta = 60^\circ $

Chọn C

Vì $\large SO\perp (ABCD)$ nên OB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng đáy
Do đó: $\large \alpha = \angle (SB, (ABCD))= \angle (SB, OB)=\angle SBO$ và
$\large \beta = \angle (SC, (ABCD))= \angle (SC, OC)= \angle SCO$
Hình thoi ABCD có $\large AC= 2a,\, \widehat{ADC}= 60^\circ \Rightarrow  \Delta ADC$ đều $\large \Rightarrow  AD= 2a$
Tam giác AOD vuông tại O nên $\large OD= sqrt{AD^2-AO^2}= \sqrt{4a^2-a^2}= a\sqrt{3}\Rightarrow  OB= a\sqrt{3}$
Lại có: $\large \tan\alpha = \dfrac{1}{2}\Rightarrow  \dfrac{SO}{OB} = \dfrac{1}{2}\Rightarrow  SO= \dfrac{1}{2}OB= \dfrac{1}{2}.a\sqrt{3}= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy $\large \tan\beta= \tan\widehat{SCO}= \dfrac{SO}{OC}= \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{a}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$