Cho hình lăng tụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi

Cho hình lăng tụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC. Góc giưuã hai mặt phẳng (A’AI) và (ABC) bằng $\large 60^\circ $. Độ dài AA’ bằng

• A. $\large \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
• B. $\large \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$
• C. $\large \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
• D. $\large \dfrac{a\sqrt{2}}{3}$

Chọn A

Ta có I là trung điểm của BC $\large \Rightarrow  AI\perp BC$
ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng $\large \Rightarrow  C’C\perp (ABC)$
$\large \Rightarrow  C’C\perp AI$ mà $\large AI\perp BC\Rightarrow  AI\perp (BCC’B’)\Rightarrow  AI\perp C’I$ 
Suy ra: 
$\large \left\{\begin{align}& (C’AI)\cap (ABC)= AI\\& (C’AI)\supset C’I\perp AI\\& (ABC)\supset BC\perp AI\\\end{align} \right.$ $\large \Rightarrow  \angle ((C’AI), (ABC))= \angle (C’I, BC)= \angle (C’IC)= 60^\circ $
Xét $\large \Delta C’CI$ vuông tại C có: 
$\large \tan\widehat{C’IC}= \dfrac{CC’}{IC}\Rightarrow  CC’= \tan 60^\circ .\dfrac{a}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow  AA’= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$