Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và DC' bằng

• A. $\Large \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
• B. $\Large \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
• C. $\Large \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
• D. $\Large \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

Ta có: $\Large DC'//AB'\Rightarrow DC'//(AB'C)\Rightarrow d(DC';AC)=d(DC'(AB'C))=d(D,(AB'C))$

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Ta có: $\Large BD \cap (AB'C)=O\Rightarrow \dfrac{d(A,(AB'C))}{d(B,(AB'C))}=\dfrac{DO}{BO}=1\Rightarrow d(D,(AB'C))=d(B,(AB'C))$

Kẻ $\Large BH\perp B'O$

$\Large \left\{\begin{align}&AC\perp OB\\&AC\perp BB'\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow AC\perp (BOB')\Rightarrow AC\perp BH$
$\Large \left\{\begin{align}&BH\perp AC\\&BH\perp OB'\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow BH\perp (AB'C)\Rightarrow d(B,(AB'C))=BH$

Hình vuông ABCD cạnh bằng $\Large a\Rightarrow BD=a\sqrt{2}\Rightarrow OB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác $\Large BOB'$ vuông tại $\Large B: \dfrac{1}{BH^{2}}=\dfrac{1}{BB'^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{2}{a^{2}}=\dfrac{3}{a^{2}}\Rightarrow BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và DC' bằng $\Large \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$