Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số $\Large y=\dfrac{

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số $\Large y=\dfrac{1}{3}x^{3}+(m+1)x^{2}+4x+7$ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng $\Large 2\sqrt{5}$. Tính tổng tất cả phần tử của S

• A. 4
• B. 2
• C. -1
• D. -2

$\Large y'=x^{2}+2(m+1)x+4$ và $\Large \Delta_{y'}=(m+1)^{2}=4$

TH1: $\Large \Delta'_{y'}\leq 0$ thì $\Large y'\geq 0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\Large \mathbb{R}$. Do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2: $\Large \Delta'_{y'} > 0\Leftrightarrow m\in(-\infty;-3)\cup (1;+\infty)$. Gọi $\Large x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $\Large y'=0$. Theo yêu cầu bài toán, (*)

Theo định lý viet, ta có: $\Large \left\{\begin{align}&x_1+x_2=-2(m+1)\\&x_1x_2=-4\\\end{align}\right.$

Thay vào phương trình (*), ta được: $\Large 4(m+1)^{2}+16=20\Leftrightarrow$ $\Large \left[\begin{align}&m=0\\&m=-2\\\end{align}\right.$

Do đó, $\Large S=0+(-2)=-2$