Cho hình chóp tứ giác đều $\large S.ABCD$. Gọi $\large N$ là trung điể

Cho hình chóp tứ giác đều $\large S.ABCD$. Gọi $\large N$ là trung điểm cạnh $\large SB, M$ là điểm đối xứng với $\large B$ qua $\large A$. Mặt phẳng $\large (MNC)$ chia khối chóp $\large S.ABCD$ thành hai phần có thể tích lần lượt là $\large V_{1}, V_{2}$ với $\large V_{1}

• A.

  A. $\large\frac{7}{24}V$

• B.

  B. $\large\frac{5}{24}V$

• C.

  C. $\large\frac{5}{12}V$

• D.

  D. $\large\frac{7}{12}V$

Gọi

$\large P=M N \cap S A, Q=M C \cap A D$ . Ta có thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\large (MNC)$ là tứ giác $\large CNPQ$.

Dễ thấy $\large P$ là trọng tâm của tam giác $\large SBM$ và $\large Q$ là trung điểm của đoạn $\large AD$.

Gọi $\large V_{0}$ thể tích của phần chứa điểm $\large S$, $\large \text {P}$ là diện tích của tứ giác $\large ABCD$ và $\large h$ chiều cao của hình chóp $\large S.ABCD$

Ta có $\large V_0=V_{S.NPQ}+V_{S.NQC}+V_{S.QDC}$

Mà $\large V_{S.NPQ}=\frac{SP}{SA}.\frac{SN}{SB}.V_{S.BAQ}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.S_{ABQ}.h=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4}.\text {P}.h=\frac{1}{12}V$

$\large V_{S.NQC}=\frac{SN}{SB}.V_{S.BQC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.S_{BQC}.h=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\text {P}.h=\frac{1}{4}V$

$\large V_{S.QDC}=\frac{1}{3}.S_{QDC}.h=\frac{1}{3}.\frac{1}{4}.\text {P}.h=\frac{1}{4}V$

Suy ra $\large V_{0}=\frac{V}{12}+\frac{V}{4}+\frac{V}{4}=\frac{7V}{12}$

Dẫn đến $\large V_2=\frac{7}{12}V$

Vậy $\large V_1=V-V_2=\frac{5}{12}V$

Đáp án C