Cho hình chóp tứ giác đều $\Large S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $\Large a$

Cho hình chóp tứ giác đều $\Large S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $\Large a$ và chiều cao bằng $\Large a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách $\Large d$ từ tâm $\Large O$ của đáy $\Large ABCD$ đến một mặt bên theo $\Large a$.

• A. $\Large d=\dfrac{2a\sqrt{5}}{3}$.
• B. $\Large d=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
• C. $\Large d=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
• D. $\Large d=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.

$\Large S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $\Large ABCD$ là hình vuông và $\Large SO\bot \left( ABCD \right)$.

Vẽ $\Large OH$ vuông góc với $\Large CD$ tại $\Large H$ thì $\Large H$là trung điểm $\Large CD$, $\Large OH=\dfrac{a}{2}$.

Dễ thấy $\Large CD\bot \left( SOH \right)\Rightarrow \left( SCD \right)\bot \left( SOH \right)$ nên kẻ $\Large OK$ vuông góc với $\Large SH$ tại $\Large K$ thì $\Large OK\bot \left( SCD \right)$.$\Large \Rightarrow d\left[ O,\left( SCD \right) \right]$ $\Large =OK$.

Tam giác vuông $\Large SOH$ có $\Large OK$ là đường cao nên $\Large OK=\dfrac{OS.OH}{\sqrt{O{{S}^{2}}+O{{H}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.

Vậy $\Large d\left[ O,\left( SCD \right) \right]=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.