Bất phương trình $\Large x\sqrt{x+1}\le \left( 2x-3 \right){{.2}^{\fra

Bất phương trình $\Large x\sqrt{x+1}\le \left( 2x-3 \right){{.2}^{\frac{-{{x}^{3}}+16{{x}^{2}}-48x+36}{{{x}^{2}}}}}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

• A. $\Large 8$.
• B. $\Large 10$.
• C. $\Large 9$.
• D. Vô số.

Chọn A

Điều kiện: $\Large \left\{ \begin{matrix}& x\ge -1 \\ & x\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$.

Ta chỉ xét với các giá trị nguyên của $\Large x$.

Với $\Large x=\pm 1$ thay vào bất phương trình không thỏa mãn.

Với $\Large x\ge 2$, bất phương trình tương đương với:

$\Large 2x\sqrt{x+1}\le \left( 4x-6 \right){{.2}^{\dfrac{16{{x}^{2}}-48x+36}{{{x}^{2}}}-x}}$$\Large \Leftrightarrow \sqrt{x+1}{{.2}^{{{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{2}}}}\le \dfrac{4x-6}{x}{{.2}^{{{\left( \dfrac{4x-6}{x} \right)}^{2}}}}$ $\Large \left( * \right)$

Xét hàm số $\Large f\left( t \right)={{2}^{{{t}^{2}}}}.t$ trên khoảng $\Large \left( 0;+\infty  \right)$ ta có: $\Large {f}'\left( t \right)={{2}^{{{t}^{2}}}}+2{{t}^{2}}{{.2}^{{{t}^{2}}}}\ln 2>0$, $\Large \forall t>0$.

Vậy hàm số $\Large f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\Large \left( 0;+\infty  \right)$, khi đó:

$\Large \left( * \right)\Leftrightarrow f\left( \sqrt{x+1} \right)\le f\left( \dfrac{4x-6}{x} \right)$$\Large \Leftrightarrow \sqrt{x+1}\le \dfrac{4x-6}{x}$

$\Large \Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( x+1 \right)\le 16{{x}^{2}}-48x+36$$\Large \Leftrightarrow {{x}^{3}}-15{{x}^{2}}+48x-36\le 0$$\Large \Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-12x+12 \right)\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}& x\le 6-2\sqrt{5}\left( \approx 1,101 \right) \\ & 3\le x\le 6+2\sqrt{5}\left( \approx 10,898 \right) \\ \end{matrix} \right.$.

Vây bất phương trình có $\Large 8$ nghiệm nguyên.