Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 a , khoảng cách từ

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là $\large \dfrac{a}{2}$. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:

• A.

  A. $\large \dfrac{4\pi a^{3}}{3}$

• B.

  B. $\large \dfrac{4\pi a^{3}}{9}$

• C.

  C. $\large \dfrac{4\pi a^{3}}{27}$

• D.

  D. $\large \dfrac{2\pi a^{3}}{3}$

Gọi E là trung điểm của BC, dựng $\large OH \perp SE$ tại H.

Chứng minh được $\large OH \perp (SBC)$ nên suy ra OH = d[O,(SBC)] = $\large \dfrac{a}{2}$

Trong tam giác đều ABC, ta có

$\large OE = \dfrac{1}{3}AE = \dfrac{1}{3}.\dfrac{2a \sqrt{3}}{2} = \dfrac{a \sqrt{3}}{3}$

Trong tam giác vuông SOE, ta có

$\large \dfrac{1}{OH^{2}} = \dfrac{1}{OE^{2}}+\dfrac{1}{SO^{2}}$ 

$\large \Rightarrow \dfrac{1}{SO^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}-\dfrac{1}{OE^{2}} = \dfrac{1}{a^{2}}\Rightarrow SO = a$.

Vậy thể tích khối nón

$\large V = \dfrac{1}{3}\pi OA^{2}.SO = \dfrac{1}{3}\pi \left (\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}  \right )^{2}.a = \dfrac{4\pi a ^{3}}{9}$  (đvtt)

Chọn B.