Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , BD = a . Hình c

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, BD = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm OD. Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng $\large 60^{\circ}$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nhận giá trị nào sau đây?

• A.

  A. $\large \dfrac{a}{4}$

• B.

  B. $\large \dfrac{a}{3}$

• C.

  C. $\large \dfrac{a}{2}$

• D.

  D. a

Ta có $\large 60^{\circ}=(\widehat{SD,(ABCD)})=(\widehat{SD,HD})=\widehat{SDH}$ 

Trong tam giác vuông SHD, có

$\large SH = DH.tan\widehat{SDH} = \dfrac{BD}{4}.tan\widehat{SDH} = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$ và 

$\large SD = \dfrac{HD}{cos\widehat{SDH}} = \dfrac{a}{2}$ 

Trong tam giác vuông SHB, có

$\large SB = \sqrt{SH^{2}+HB^{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác SBD, ta có $\large SB^{2}+SD^{2} = a^{2} = BD^{2}$.

Suy ra tam giác SBD vuông tại S.

Vậy các đỉnh S, A, C cùng nhìn xuống BD dưới một góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là O, bán kính $\large R = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a}{2}$. Chọn C.