Cho một khối trụ có bán kính đáy r = a và chiều cao h = 2a . Mặt phẳng

Cho một khối trụ có bán kính đáy r = a và chiều cao h = 2a. Mặt phẳng (P) song song với trục OO’ của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi $\large V_{1}$ là thể tích phần khối trụ chứa trục OO’, $\large V_{1}$ là thể tích phần còn lại của khối trụ. Tính tỉ số $\large \dfrac{V_{1}}{V_{2}}$, biết rằng (P) cách OO’ một khoảng bằng $\large \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

• A.

  A. $\large \dfrac{3\pi +2}{\pi -2}$

• B.

  B. $\large \dfrac{3\pi -2}{\pi -2}$

• C.

  C. $\large \dfrac{2\pi +3}{\pi -2}$

• D.

  D. $\large \dfrac{2\pi -3}{\pi -2}$

Thể tích khối trụ $\large V = \pi r^{2}h = \pi a^{2}.2a = 2\pi a^{3}$.

Gọi thiết diện là hình chữ nhật ABB’A’.

Dựng lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ như hình vẽ.

Gọi H là trung điểm AB.

Ta có $\large OH \perp AB \Rightarrow OH \perp (ABB'A')\Rightarrow OH = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ 

$\large \Rightarrow AH = BH = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = OH$ 

$\large \Rightarrow \Delta$OAB vuông cân tại O $\large \Rightarrow$ ABCD là hình vuông.

Từ đó suy ra:

$\large V_{2} = \dfrac{1}{4}(V-V_{ABCD.A'B'C'D'}) = \dfrac{1}{4}(2\pi a^{3}-(a\sqrt{2})^{2}.2a) = \dfrac{a^{3}(\pi -2)}{2}$ 

$\large V_{1} = V-V_{2} = 2\pi a^{3}-\dfrac{a^{3}(\pi -2)}{2} = \dfrac{a^{3}(3\pi +2)}{2}$ 

Suy ra $\large \dfrac{V_{1}}{V_{2}} = \dfrac{3\pi +2}{\pi -2}$ 

Chọn A.