Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $\large SA= 2a$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $\large SA= 2a$ và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và CM

• A. A. $\large d = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
• B. B. $\large d= \dfrac{a}{6}$
• C. C. $\large d= \dfrac{2a}{3}$
• D. D. $\large d= \dfrac{a}{3}$

Chọn C

Cách 1: Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách:

Gọi $\large O = AC\cap BD\Rightarrow SB//OM$, mà $\large OM\subset (AMC) \Rightarrow SB//(AMC) $

ta có: $\large d(SB, CM) = d(SB, (AMC)) = d(B, (AMC)) = d(D, (AMC))\, (1) $

Gọi I là trung điểm của $\large AD\Rightarrow MI//SA$ mà $\large SA\perp (ABCD)\Rightarrow MI\perp (ABCD)$ 

Lại có: $\large CI\cap (AMC) = A\Rightarrow  d(D, (AMC)) 2d (I, (AMC)) \,\, (2) $

Từ (1) và (2), suy ra: $\large d(SB, CM) = 2d(I, (AMC))\,\, (3) $

Gọi N là trung điểm của AO $\large \Rightarrow IN// OD$ mà $\large OD\perp AC\Rightarrow IN\perp AC$

Ta có: $\large \left\{\begin{align}& AC\perp IN\\& AC\perp MI\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow AC\perp (MIN)\Rightarrow (MIN)\perp (MAC)$, mà $\large (MIN)\cap (MAC) = MN$

Trong (MIN), kẻ $\large IH\perp MN\Rightarrow IH\perp (MAC)\Rightarrow d(I,(MAC))= IH$ (4)

Xét tam giác MIN vuông tại I, $\large MI = \dfrac{1}{2}SA=a,\, IN=\dfrac{1}{2} OD= \dfrac{1}{4}BD = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

$\large \Rightarrow IH = \dfrac{IN.IM}{\sqrt{IN^2+IM^2}}= \dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{a^2+ \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\right)^2}}\Rightarrow IH = \dfrac{a}{3}$ (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: $\large d(SB, CM) = \dfrac{2a}{3}$

Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: 

$\large B(a,0,0),\, S(0,0,2a),\, C(a,a,0),\, M\left( 0; \dfrac{a}{2}, a\right)$

$\large \Rightarrow \overrightarrow{SB} =(a; 0; -2a),\, \overrightarrow{MC} = \left(a; \dfrac{a}{2}; -a\right),\, \overrightarrow{BC} = (0; a; 0)$ 

$\large \Rightarrow [\overrightarrow{SB},\overrightarrow{MC}]= \left(a^2; -a^2; \dfrac{a^2}{a}\right) \Rightarrow [\overrightarrow{SB},\overrightarrow{MC}].\overrightarrow{BC}= -a^3$

Vậy $\large d(SB, CM)= \dfrac{[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{MC}].\overrightarrow{BC}}{[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{MC}]}= \dfrac{a^3}{\sqrt{a^4+a^4+\dfrac{a^4}{4}}}= \dfrac{2a}{3}$