Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD = 2 a ,

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD = 2a, AB = BC = CD = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số $\large \dfrac{R}{a}$ nhận giá trị nào sau đây?

 

• A.

  A. $\large a\sqrt{2}$

• B.

  B. a

• C.

  C. 1

• D.

  D. $\large \sqrt{2}$

Ta có SA $\large \perp$AD hay $\large \widehat{SAD} = 90^{\circ}$.

Gọi E là trung điểm AD.

Ta có EA = AB = BC nên ABCE là hình thoi.

Suy ra CE = EA = $\large \dfrac{1}{2}$AD.

Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:

$\large \left\{\begin{matrix}
DC \perp AC & \\ 
DC \perp SA & 
\end{matrix}\right.\Rightarrow DC \perp (SAC)\Rightarrow DC \perp SC$ hay $\large \widehat{SCD} = 90^{\circ}$ 

Tương tự, ta cũng có SB $\large \perp$BD hay $\large \widehat{SBD} = 90^{\circ}$

Ta có $\large \widehat{SAD} = \widehat{SBD} = \widehat{SCD} = 90^{\circ}$ nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính:

$\large R = \dfrac{SD}{2} = \dfrac{\sqrt{SA^{2}+AD^{2}}}{2} = a\sqrt{2}$ 

Suy ra $\large \dfrac{R}{a} = \sqrt{2}$. Chọn D.