Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\large AB= AC

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\large AB= AC= a$. Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt đáy (ABC) trung với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và $\large SH= \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$. Gọi $\large \varphi $ là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

• A. A. $\large \co\varphi= \dfrac{\sqrt{2}}{4}$
• B. B. $\large \co\varphi= \sqrt{7}$
• C. C. $\large \cot\varphi = \dfrac{\sqrt{7}}{7}$
• D. D. $\large \co\varphi = \dfrac{\sqrt{14}}{4}$

Chọn C

Gọi H là trung điểm của BC. 
Theo giả thiết ta có: $\large SH\perp (ABC)$
Qua B kẻ $\large Bx// AC$. Khi đó: $\large \angle (SB, AC)= \angle (SB, Bx)$
Kẻ $\large HE\perp Bx$ tại E cắt AC tại M
Suy ra AMEB là hình chữ nhật nên $\large \left\{\begin{align}& BE=AM=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a}{2}\\& HE= HM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a}{2}\\\end{align} \right.$
Ta có: $\large \left\{\begin{align}& Bx\perp HE\\& Bx\perp SH\\\end{align} \right.$ $\large \Rightarrow  Bx\perp (SHE)\Rightarrow  Bx\perp SE$
Tam giác SEB vuông tại E, có: 
$\large \cot\widehat{SBE}=\dfrac{BE}{SE}=\dfrac{AM}{\sqrt{SH^2+HE^2}}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\sqrt{\dfrac{6a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}}}=\dfrac{\sqrt{7}}{7}$