Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với $\large BA= B

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với $\large BA= BC= a,\, SA= a$ và vuông góc với đáy, cosin góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng

• A. A. $\large \dfrac{1}{2}$
• B. B. $\large \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
• C. C. $\large \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• D. D. $\large \dfrac{\sqrt{2}}{3}$

Chọn A

Trong $\large \Delta SAC$ vẽ $\large AH\perp SC$
Gọi M là trung điểm của AC, vẽ $\large MK\perp SC$ (1)
Vù $\large \Delta BAC$ vuông cân tại B $\large \Rightarrow BM\perp AC$
Theo giả thiết $\large SA\perp (ABC)\Rightarrow  SA\perp BM$
Ta có $\large \left\{\begin{align}& BM\perp AC\\& BM\perp SA\\\end{align} \right.$ $\large \Rightarrow  BM\perp (SAC)\Rightarrow  BM\perp SC$ (2)
Từ (1) và (2) $\large \Rightarrow  SC\perp (BMK)\Rightarrow  SC\perp BK$ (3)
Từ (1) và (3) $\large \Rightarrow \left\{\begin{align}& MK\perp SC,\, MK\subset (SAC)\\& SC\perp BK,\, BK\subset (SBC)\\\end{align} \right.$
$\large \Rightarrow  \angle ((SAC, (SBC))= \angle (BK, MK)= \widehat{BKM}$
Vì tam giác SBC vuông tại B nên 
$\large \dfrac{1}BK^2}= \dfrac{1}{BC^2}+ \dfrac{1}{BA^2}= \dfrac{1}{a^2}+ \dfrac{1}{2a^2}= \dfrac{3}{2a^2}\Rightarrow  BK= \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Vì $\large \Delta MCK~ \Delta SCA\Rightarrow  \dfrac{MK}{SA}= \dfrac{MC}{SC}\Leftrightarrow MK=\dfrac{MC.SA}{SC}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.a}{a\sqrt{3}}= \dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
Theo CMT, ta có $\large BM\perp (SAC)\Rightarrow  BM\perp MK\Rightarrow  \Delta BMK$ vuông tại M
Do đó: $\large \cos\widehat{BMK}= \dfrac{MK}{BK}= \dfrac{a\sqrt{6}}{6}:\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{1}{2}$