Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\large \wide

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\large \widehat{ABC}= 60^\circ $. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Gọi $\large \varphi $ là góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SCD), tính $\large \sin\varphi $ biết rằng $\large SB= a$

• A. A. $\large \sin\varphi = \dfrac{1}{4}$
• B. B. $\large \sin\varphi = \dfrac{1}{2}$
• C. C. $\large \sin\varphi = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
• D. D. $\large \sin\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Chọn D

Gọi M là trung điểm của SD, nhận xét góc giữa SB và (SCD) cũng bằng góc giữa OM và (SCD) (vì $\large OM// SB$)
Gọi H là hình chiếu của O trên (SCD) $\large \Rightarrow  \angle (OM, (SCD))= \angle (OM, MH)= \widehat{OMH}$
Trong (SBD) kẻ $\large OE// SH$, khi đó tứ diện OECD là tứ diện vuông nên $\large \dfrac{1}{OH^2}= \dfrac{1}{OC^2}+ \dfrac{1}{OD^2}+ \dfrac{1}{OE^2}$
Ta dễ dàng tính được $\large OC=\dfrac{a}{2};\, OD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Lại có: $\large \dfrac{OE}{SH}= \dfrac{OD}{HD}= \dfrac{3}{4}\Rightarrow  OE= \dfrac{3}{4}SH$ mà $\large SH= \sqrt{SB^2-BH^2}= \sqrt{a^2-\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}= \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Do đó: $\large OE= \dfrac{3}{4}SH=\dfrac{3}{4}. \dfrac{a\sqrt{6}}{3}= \dfrac{a\sqrt{6}}{4}$
Suy ra: $\large \dfrac{1}OH^2}= \dfrac{a}{\left( \dfrac{a}{2}\right)^2}+\dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{4}\right)^2}= \dfrac{8}{a^2}\Rightarrow  OH= \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
Tam giác OMH vuông tại H có $\large OM= \dfrac{1}{2}SB= \dfrac{a}{2};\, OH= \dfrac{a\sqrt{2}}{4}\Rightarrow  \sin \widehat{OMH}= \dfrac{OH}{OM}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy $\large $