Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\large $AB=a

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $\large $AB=a,\, AC=a\sqrt{3}. Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC)

• A. A. $\large d= \dfrac{a\sqrt{39}}{13}$
• B. B. $\large d= a$
• C. C. $\large d= \dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$
• D. D. $\large d= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Chọn C

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra $\large SH\perp BC\Rightarrow  SH\perp (ABC)$
Gọi K là trung điểm của AC, suy ra $\large HK\perp AC$
Kẻ $\large HE\perp SK\, (E\in SK)$ (1)
Ta có: $\large \left\{\begin{align}& AC\perp HK\\& AC\perp SH\\\end{align} \right.$ $\large \Rightarrow  AC\perp (SHK)\Rightarrow  AC\perp HE$ (2)
Từ (1) và (2) $\large \Rightarrow  HE\perp (SAC)\Rightarrow  HE= d(H, (SAC))$
Ta có: 
$\large BH\cap (SAC)= C\Rightarrow  \dfrac{d(B, (SAC))}{d(H, (SAC))}= \dfrac{BC}{HC}= 2\Rightarrow  d(B, (SAC))= 2d(H, (SAC))= 2HE$
Tam giác ABC vuông tại A nên $\large BC=\sqrt{AB^2+AC^2}= \sqrt{a^2+3a^2}= 2a$
Tam giác SBC đều cạn 2a nên đường cao $\large SH=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}= a\sqrt{3}$
Lại có: HK là đường trung bình của tam giác ABC nên $\large HK=\dfrac{1}{2}AB= \dfrac{a}{2}$
Vậy $\large d(B, (SAC))= 2HE= \dfrac{SH.HK}{\sqrt{SH^2+HK^2}}= \dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$