Cho hình chóp $\large S.ABCD$ đáy là hình chữ nhật $\large ABCD$, có $

Cho hình chóp $\large S.ABCD$ đáy là hình chữ nhật $\large ABCD$, có $\large AD= 2AB, SC= 2a\sqrt{5}$. $\large SA$ vuông góc với đáy. Biết góc tạo bởi đường thẳng $\large SC$ và mặt phẳng $\large (ABCD)$ bằng $\large 60^{\circ }$. Tính thể tích $\large V$ của khối chóp $\large S. ABCD$ theo $\large a$

• A.

  A. $\large 2a^{3}\sqrt{15}$

• B.

  B. $\large\frac{ a^{3}\sqrt{15}}{3}$

• C.

  C. $\large\frac{2 a^{3}\sqrt{15}}{3}$

• D.

  D. $\large\frac{2 a^{3}\sqrt{15}}{9}$

Ta có: $\large SA\perp (ABCD)\Rightarrow (SC,(ABCD))=\widehat{SCA}=60^{\circ}$.

Khi đó $\large\left\{\begin{align}SA=SC\sin \widehat{SCA}=2a\sqrt{5}.sin60^{\circ}=a\sqrt{15}\\ AC=SC\cos \widehat{SCA}=2a\sqrt{5}.\cos 60^{\circ}=a\sqrt{5}\end{align}\right.$

Ta có: $\large AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}\Leftrightarrow AB^{2}+4AB^{2}=5a^{2}\Leftrightarrow AB=a\Rightarrow AD=2a$

$\large\Rightarrow V=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{15}.2a^{2}=\frac{2a^{3}\sqrt{15}}{3}$

Đáp án C