Cho hình chóp $\Large S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $\Large A

Cho hình chóp $\Large S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $\Large A$ và $\Large D$, $\Large SA \bot (ABCD)$. Góc giữa $\Large SB$ và mặt phẳng đáy bằng $\Large 45^{o}$, $\Large E$ là trung điểm của $\Large SD$, $\Large AB = 2a$, $\Large AD = DC = a$. Tính khoảng cách từ $\Large B$ đến $\Large (ACE)$.

• A.

  A. $\Large \dfrac{4a}{3}$

• B.

  B. $\Large \dfrac{2a}{3}$

• C.

  C. $\Large a$

• D.

  D. $\Large \dfrac{3a}{4}$

Chọn A

$\Large \left ( \widehat{SB, (ABCD)} \right ) = 45^{o} \Rightarrow \widehat{SBA} = 45^{o}$

=> Tam giác $\Large SAB$ vuông cân tại $\Large A$

$\Large \Rightarrow SA = AB = 2a$.

Chọn hệ trục $\Large Axyz$ như hình vẽ. Ta được $\Large A(0; 0; 0)$, $\Large S(0; 0; 2a)$, $\Large B(2a; 0; 0)$, $\Large D(0; a; 0)$.

Gọi $\Large K$ là trung điềm của $\Large AB$. Nhận xét rằng tứ giác $\Large ADCK$ là hình chữ nhật.$\Rightarrow \Large C(a; a; 0).$

$\Large E$ là trung điểm của $\Large SD$. $\Large E(0; \dfrac{a}{2}; a)$.

$\Large \left [ \overrightarrow{AE},\overrightarrow{AC} \right ] = \left ( -a^{2}; a^{2}; -\dfrac{a^{2}}{2} \right ) = -\dfrac{a^{2}}{2}\left ( 2; -2; 1 \right )$

Mặt phẳng $\Large (ACE)$ đi qua $\Large A(0; 0; 0)$ và nhận vectơ $\Large (2; -2; 1)$ là một vectơ pháp tuyến nên có phương trình $\Large 2x - 2y + z = 0$.

Vậy khoảng cách từ $\Large B$ đến $\Large (ACE)$ là $\Large d(B,(ACE)) = \dfrac{\left | 2. 2a \right |}{\sqrt{2^{2} + (-2)^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{4a}{3}$.