Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $\large AC=2

Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $\large AC=2a,BC=a$. Đỉnh $\large S$ cách đều các điểm $\large A,B,C$. Biết góc giữa đường thẳng $\large SB$ và mặt phẳng đáy bằng $\large 60^{\circ}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

• A.

  A. $\large a^{3}$

• B.

  B. $\large\frac{a^{3}}{2}$

• C.

  C. $\large\frac{a^{3}}{4}$

• D.

  D. $\large\frac{3a^{3}}{4}$

Gọi $\large O$ là trung điểm $\large AC$, suy ra $\large O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\large ABC$

Theo giả thiết đỉnh $\large S$ cách đều các điểm $\large A,B,C$ nên hình chiếu của $\large S$ xuống đáy là $\large O\rightarrow SO\perp (ABCD)$

Xác định $\large 60^{\circ}=\widehat{\left ( SB;(ABCD) \right )}=\widehat{\left ( SB,OB \right )}=\widehat{SBO}$

Chiều cao khối chóp $\large SO=OB.\tan \widehat{SBO}=a\sqrt{3}$

Vậy thể tích khối chóp $\large V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SO=\frac{1}{3}(AB.BC).SO=\frac{1}{3}.\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}.BC.SO=a^{3}$

Đáp án A