Cho hình chóp $\Large S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $\Large AB=a$, $

Cho hình chóp $\Large S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $\Large AB=a$, $\Large AD=2a$, $\Large SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $\Large SA=a$. Gọi $\Large M$ là trung điểm của $\Large AD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $\Large BM$ và $\Large SD$.

• A.

  $\Large \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.

• B.

  $\Large \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

• C.

  $\Large \dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$.

• D.

  $\Large \dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.

Gọi $\Large K$ là trung điểm của $\Large BC$ $\Large \Rightarrow BM// DK\Rightarrow BM// (SDK)$

$\Large \Rightarrow d(BM, SD)$=$\Large d\big(BM, (SDK)\big)$=$\Large d\big(M, (SDK)\big)$=$\Large \dfrac{1}{2}d\big(A, (SDK)\big)$.

Gọi $\Large H$ là hình chiếu của $\Large A$ lên $\Large SK$.

Ta dễ dàng chỉ ra được $\Large AH\perp (SDK)$ $\Large \Rightarrow d\big(A, (SDK)\big)=AH$.

Tam giác $\Large SAK$ vuông tại $\Large A$ có $\Large AK=a\sqrt{2}$, $\Large AS=a$ $\Large \Rightarrow \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AS^2}+\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{2a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{3}{2a^2}$.

$\Large \Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ $\Large \Rightarrow d(BM, SD)=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$.