Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình bình hành và có thể tích

Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình bình hành và có thể tích là $\large V$. Gọi $\large P$ là điểm trên cạnh $\large SC$ sao cho $\large SC=5SP$. Một mặt phẳng $\large (\alpha )$ qua $\large AP$ cắt hai cạnh $\large SB,SD$ lần lượt tại $\large M,N$. Gọi $\large V_{1}$ là thể tích của khối chóp $\large S.AMPN$. Tìm giá trị lớn nhất của $\large\dfrac{V_{1}}{V}$

• A.

  A. $\large\dfrac{2}{15}$

• B.

  B. $\large\dfrac{1}{15}$

• C.

  C. $\large\dfrac{1}{25}$

• D.

  D.$\large\dfrac{3}{25}$

Ta có: $\large\dfrac{V_{1}}{V}=\dfrac{V_{S.AMPN}}{V_{S.ABCD}}=\dfrac{V_{S.APN}+V_{S.APM}}{2V_{S.ABC}}=\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{SP}{SC}\cdot \dfrac{SN}{SD}+\dfrac{SP}{SC}\cdot \dfrac{SM}{SB} \right )=\dfrac{1}{10}\left ( \dfrac{SN}{SD}+\dfrac{SM}{SB} \right )$. Đặt $\large a=\dfrac{SM}{SB},b=\dfrac{SN}{SD},0< a,b\leq 1$

Gọi $\large O$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $\large ABCD$

Trong mặt phẳng $\large (SAC),AP\cap SO=I$

Xét tam giác $\large SOC$ có $\large\dfrac{PS}{PC}\cdot \dfrac{AC}{AO}\cdot \dfrac{IO}{IS}=1\Leftrightarrow \dfrac{IO}{IS}=2\Rightarrow \dfrac{SI}{SO}=\dfrac{1}{3}$

Xét tam giác $\large SBD$ có $\large\dfrac{S_{SMN}}{S_{SBD}}=\dfrac{SM}{SB}\cdot \dfrac{SN}{SD}=ab$

Mặt khác, $\large\dfrac{S_{SMN}}{S_{SBD}}=\dfrac{S_{SMI}+S_{SNI}}{S_{SBD}}=\dfrac{S_{SMI}}{2S_{SBO}}+\dfrac{S_{SNI}}{2S_{SDO}}=\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{SM}{SB}\cdot \dfrac{SI}{SO}+\dfrac{SN}{SD}\cdot \dfrac{SI}{SO} \right )=\dfrac{1}{6}(a+b)$

Vậy, $\large\dfrac{1}{6}(a+b)=ab$ do $\large a=\dfrac{1}{6}$ không thỏa mãn hệ thức nên $\large b=\dfrac{a}{6a-1}$, do $\large 0< b\leq 1$ nên $\large 0< \dfrac{a}{6a-1}\leq 1\Leftrightarrow a\geq \dfrac{1}{5}$.

Từ đó, $\large\dfrac{V_{1}}{V}=\dfrac{1}{10}(a+b)=\dfrac{1}{10}\left ( a+\dfrac{a}{6a-a} \right )$ với $\large\dfrac{1}{5}\leq a\leq 1$

Xét hàm số $\large y=f(x)=x+\dfrac{x}{6x-1}$ với $\large x\epsilon \left [ \dfrac{1}{5};1 \right ]$

$\large{y}'=1-\dfrac{1}{(6x-1)^{2}}$, $\large {y}'=0\Leftrightarrow (6x-1)^{2}=1\Leftrightarrow \left [\begin{align}x=0(L)\\ x=\dfrac{1}{3}\end{align}\right.$.

Ta có $\large f(\dfrac{1}{5})=\dfrac{6}{5},f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3},f(1)=\dfrac{6}{5}$.

Vậy $\large\underset{x\epsilon \left [ \dfrac{1}{5};1 \right ]}{max}f(x)=f(1)=\dfrac{6}{5}$

Từ đó giá trị lớn nhất của $\large\dfrac{V_{1}}{V}=\dfrac{3}{25}$ khi $\large M\equiv B$ hoặc $\large N\equiv D$

Đáp án D