Cho hình chóp $\Large S.ABC$ có đáy $\Large ABC$ là tam giác vuông tại

Cho hình chóp $\Large S.ABC$ có đáy $\Large ABC$ là tam giác vuông tại $\Large A$, $\Large AB=a$, $\Large AC=a\sqrt{3}$; $\Large SA$ vuông góc với đáy, $\Large SA=2a$. Khoảng cách từ điểm $\Large A$ đến mặt phẳng $\Large \left( SBC \right)$ bằng

• A. $\Large \dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.
• B. $\Large \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.
• C. . $\Large \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$.
• D. $\Large \dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$.

Ta có $\Large \left. \begin{matrix}& SA\bot \left( ABC \right) \\ & BC\subset \left( ABC \right) \\ \end{matrix} \right\}\Rightarrow SA\bot BC$.

Trong $\Large \left( ABC \right)$, kẻ $\Large AH\bot BC$, mà $\Large BC\bot SA\Rightarrow BC\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BC\bot SH$.

Trong $\Large \left( SAH \right)$, kẻ $\Large AK\bot SH$, mà $\Large SH\bot BC$ $\Large \Rightarrow AK\bot \left( SBC \right)$ hay $\Large d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AK$.

Vì $\Large \Delta ABC$ vuông tại $\Large A$nên $\Large BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a$.

Mặt khác có $\Large AH$ là đường cao nên $\Large AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$.

Vì $\Large \Delta SAH$ vuông tại $\Large A$ nên $\Large SH=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{19}a}{2}$.

Vậy có $\Large AK$ là đường cao $\Large AK=\dfrac{SA.AH}{SH}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$.

Nhận xét. Trong thực hành làm toán trắc nghiệm ta nên áp dụng bài toán sau:

Cho tứ diện  $\Large OABC$ có $\Large OA,\,\,OB,\,\,OC$đôi một vuông góc với nhau và $\Large H$ là hình chiếu của $\Large O$ lên mặt phẳng $\Large \left( ABC \right)$. Khi đó $\Large \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}$.