Cho hình chóp $\large S.ABC$, có đáy là tam giác vuông tại A , $\large

Cho hình chóp $\large S.ABC$, có đáy là tam giác vuông tại A , $\large AB = 4a , AC = 3a$. Biết $\large SA = 2a \sqrt {3}, \widehat{SAB} = 30^{\circ}$ và $\large (SAB) \perp (ABC)$. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\large (SBC)$ bằng

• A.

  $\large \dfrac {3 \sqrt {7} a}{14}$

• B.

  $\large \dfrac {8 \sqrt {7} a}{3}$

• C.

  $\large \dfrac {6 \sqrt {7} a}{7}$

• D.

  $\large \dfrac {3 \sqrt {7} a}{2}$

Gọi SH là đường cao của khối chóp $\large \Rightarrow$ SH là đường cao của tam giác $\large \Delta SAB$.
$\large \Delta SAH$ có $\large \widehat{SAH} = 30^{\circ}, \widehat{SHA} = 90^{\circ} \Rightarrow AH = SA.cos 30^{\circ} = 3a \Rightarrow SH = a \sqrt {3}$
$\large \Rightarrow d (A;(SBC)) = 4d (H ;(SBC))$.
Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng $\large (SBC)$:
Từ H kẻ $\large HK \perp BC$ tại K , kẻ $\large HI \perp SK $tại I $\large \Rightarrow d (H ;(SBC)) = HI$
Mà $\large \Delta HBK \sim \Delta CBA  \Rightarrow \dfrac {BH}{BC} = \dfrac {HK}{CA} \Rightarrow HK = \dfrac {BH.CA}{BC} = \dfrac {3}{5} a$
$\large \Rightarrow \dfrac {1}{HI^{2}} = \dfrac {1}{SH^{2}} + \dfrac {1}{HK^{2}} = \dfrac {28}{9a^{2}} \Rightarrow HI = \dfrac {3 \sqrt {7} a}{14}$
$\large \Rightarrow d (A;(SBC)) =  \dfrac {6 \sqrt {7} a}{7}$