Cho hình chóp đều $\large S.ABC$ có $\large SA= 2a, AB= 3a$. Tính tan

Cho hình chóp đều $\large S.ABC$ có $\large SA= 2a, AB= 3a$. Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $\large (SBC)$ và $\large (ABC)$

• A.

  A. $\large\frac{\sqrt{3}}{2}$

• B.

  B.$\large\frac{4\sqrt{3}}{3}$

• C.

  C. $\large\frac{\sqrt{3}}{4}$

• D.

  D. $\large\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có: $\large AH=\frac{2}{3}AI=\frac{2}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

Ta có: $\large HI\perp BC \Rightarrow \left ( \widehat{\left ( SBC \right ),\left ( ABC \right )} \right )=\widehat{\left ( SI, AI \right )} = \widehat{\left ( SIA \right )}$

Ta có: $\large\left\{\begin{align}SH= \sqrt{SA^{2}-AH^2}= \sqrt{(2a)^2-(a\sqrt{3})^2}\\ HI= \frac{AH}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\end{align}\right.$ $\large\Rightarrow \tan \widehat{SIA}= \frac{SH}{IH}= \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Đáp án D