Cho hàm số $\large y=x^{3}-\dfrac{3}{2}(4 m+1) x^{2}-3\left(5 m^{2}+m\

Cho hàm số $\large y=x^{3}-\dfrac{3}{2}(4 m+1) x^{2}-3\left(5 m^{2}+m\right) x-m-1$. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -4.

• A.

  $\Large m\in(-1;4)$

• B.

  $\Large m \in (-1;\dfrac{-1}{6})\cup{-1}{6}{4}$

• C.

  $\Large m\in {-1;2}$

• D.

  $\Large m\in (-1;0)\cup(0;4)$

Ta có: $\large y^{\prime}=3 x^{2}-3(4 m+1) x-3\left(5 m^{2}+m\right) ; \forall x \in \mathrm{R}$

Đặt $\large f(x)=x^{2}-(4 m+1) x-5 m^{2}-m$.

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu $\large \Leftrightarrow y^{\prime}=0$ có hai nghiệm phân biệt $\large \Leftrightarrow f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\large \Leftrightarrow \Delta_{f(x)}>0 \Leftrightarrow(4 m+1)^{2}+4\left(5 m^{2}+m\right)=36 m^{2}+4 m+1=(6 m+1)^{2} >0 \Leftrightarrow m\neq \dfrac{-1}{6}$

Khi đó gọi $\large A\left(x_{1} ; y_{1}\right), B\left(x_{2} ; y_{2}\right)$ lần lượt là tọa độ của hai điểm cực trị, áp dụng định lý Viet cho phương trình f(x) =0 suy ra $\large \left\{\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2}=4 m+1 \\
x_{1} x_{2}=-5 m^{2}-m
\end{array}\right.\quad(*)$

Từ giả thiết, ta có

$\large \left\{\begin{array}{l}
x_{1}>-4 \\
x_{2}>-4
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+4>0 \\
x_{2}+4>0
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
\left(x_{1}+4\right)+\left(x_{2}+4\right)>0 \\
\left(x_{1}+4\right)\left(x_{2}+4\right)>0
\end{array}\right.\right.\right.$ 

$\large \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2}>-8 \\
x_{1} x_{2}+4\left(x_{1}+x_{2}\right)+16>0
\end{array}\right. (1)$

Thay (*) vào (1) ta được 

$\large \left\{\begin{array}{c}
4 m+1>-8 \\
-5 m^{2}-m+4(4 m+1)+16>0
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
4 m>-9 \\
5 m^{2}-15 m-20<0
\end{array}\right.\right.$

$\large \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
4 m>-9 \\
-1 \end{array} \Leftrightarrow-1

Kết hợp với điều kiện : $\Large m\neq \dfrac{-1}{6}$

Suy ra $\large m \in\left(-1 ;\dfrac{-1}{6}\right)\cup \left(\dfrac{-1}{6};4\right)$ là giá trị cần tìm.