Cho hàm số $\Large y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị (C), $\Large M$ là đ

Cho hàm số $\Large y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị (C), $\Large M$ là điểm di động trên (C) có hoành độ $\Large x_M > 1$. Tiếp tuyến của (C) tại $\Large M$ lần lượt cắt hai đường tiệm cận của (C) tại $\Large A, B$. Gọi S là diện tích tam giác $\Large OAB$. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

• A.

  $\Large minS=1+\sqrt{2}$.

• B.

  $\Large minS=1$.

• C.

  $\Large minS=2+2\sqrt{2}$.

• D.

  $\Large minS=2$.

Chọn C
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $\Large M$ là $\Large d: y=\dfrac{-1}{(x_M-1)^2}(x-x_M)+\dfrac{2x_M-1}{x_M-1}$.

$\Large d\cap \text{TCĐ}(x=1)=A\left(1; \dfrac{2x_M}{x_M-1}\right)$; $\Large d\cap TCN(y=2)=B(2x_M-1; 2)$.

Ta có: $\Large \overrightarrow{OA}\left(1; \dfrac{2x_M}{x_M-1}\right)$; $\Large \overrightarrow{OB}(2x_M-1; 2)$ $\Large \rightarrow S_{\Delta OAB}=\dfrac{1}{2}\left|2-\dfrac{2x_M(2x_M-1)}{x_M-1}\right|$

$\Large S_{\Delta OAB}=\dfrac{1}{2}\left(4x_M+\dfrac{2}{x_M-1}\right)$ $\Large =\dfrac{1}{2}\left(4(x_M-1)+\dfrac{2}{x_M-1}+4\right)\geq \dfrac{1}{2}(4\sqrt{2}+4)=2+2\sqrt{2}$

Dấu "=" $\Large \Leftrightarrow 4(x_M-1)=\dfrac{2}{x_M-1}$ $\Large \Leftrightarrow x_M=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $\Large \rightarrow minS=2+2\sqrt{2}$.