Số nguyên dương $\Large x$ lớn nhất thoả mãn bất phương trình $\Large

Số nguyên dương $\Large x$ lớn nhất thoả mãn bất phương trình $\Large 3\mathrm{log}_3\left(1+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right) > 2\mathrm{log}_2\sqrt{x}$ là số có bốn chữ số dạng $\Large \overline{abcd}$ khi đó giá trị $\Large a+b+c+d$ bằng 

• A. 4.
• B. 18.
• C. 20.
• D. 19.

Chọn B
Điều kiện $\Large x > 0$.

Đặt $\Large t=\mathrm{log}_2\sqrt[6]{x}$ $\Large \Rightarrow \sqrt[6]{x}=2^t$ $\Large \Rightarrow x=(2^t)^6$.

Suy ra $\Large \left\{\begin{align} & \sqrt{x}=8^t \\ & \sqrt[3]{x}=4^t \end{align}\right.$. Ta được bất phương trình $\Large 3\mathrm{log}_3(1+8^t+4^t) > 2.3.t$ $\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}_3(1+8^t+4^t) > 2t$

$\Large \Leftrightarrow 1+8^t+4^t > 3^{2t}$ $\Large \Leftrightarrow 1+8^t+4^t > 9^t$ $\Large \Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{9}\right)^t+\left(\dfrac{8}{9}\right)^t+\left(\dfrac{4}{9}\right)^t > 1$ (1).

Xét hàm số $\Large f(t)=\left(\dfrac{1}{9}\right)^t+\left(\dfrac{8}{9}\right)^t+\left(\dfrac{4}{9}\right)^t$ có $\Large f'(t)=\left(\dfrac{1}{9}\right)^t+\left(\dfrac{8}{9}\right)^t+\left(\dfrac{4}{9}\right)^t$ nghịch biến.

Lại có (1) $\Large \Leftrightarrow f(t) > f(2)$ $\Large \Leftrightarrow t < 2$.

Suy ra $\Large \mathrm{log}_2\sqrt[6]{x} < 2$ $\Large \Leftrightarrow 0 < \sqrt[6]{x} < 4$ $\Large \Leftrightarrow 0 < x < 4096$.

Vậy số nguyên dương $\Large x$ lớn nhất thoả mãn bất phương trình là 4095 nên 

$\Large a=4, b=0, c=9, d=5$.

Suy ra $\Large a+b+c+d=18$.