Cho hàm số $\Large f(x)$ thỏa mãn $\Large {{({f}'(x))}^{2}}+f(x).{f}''

Cho hàm số $\Large f(x)$ thỏa mãn $\Large {{({f}'(x))}^{2}}+f(x).{f}''(x)=15{{x}^{4}}+12x,\forall x\in \mathbb{R}$ và $\Large f(0)={f}'(0)=1$ . Giá trị của $\Large {{f}^{2}}(1)$ bằng

• A.

  $\Large \dfrac{9}{2}$

• B.

  $\Large \dfrac{5}{2}$

• C.

  $\Large 10$

• D.

  $\Large 8$

Ta có: $\Large {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x).{f}''(x)=15{{x}^{4}}+12x$

$\Large \Leftrightarrow {{\left[ {f}'(x).f(x) \right]}^{\prime }}=15{{x}^{4}}+12x$

$\Large \Leftrightarrow {f}'(x).f(x)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+{{C}_{1}}$

Do $\Large f(0)={f}'(0)=1$ nên ta có $\Large {{C}_{1}}=1$ . Do đó: 

$\Large {f}'(x).f(x)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+1$

$\Large \Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{2}{{f}^{2}}(x) \right)}^{\prime }}=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+1$

$\Large \Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+2x+{{C}_{2}}$

Mà $\Large f(0)=1$ nên ta có $\Large {{C}_{2}}=1$ . Vậy $\Large {{f}^{2}}(x)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+2x+1$ suy ra $\Large {{f}^{2}}(1)=8$ 

Chọn đáp án D