Cho hàm số $\Large y=f(x)$ liên tục trên [a;b] . Giả sử hàm số $\Large

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ liên tục trên [a;b] . Giả sử hàm số $\Large u=u(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\Large [a;b]$ và $\Large u(x)\in \left[ \alpha ;\beta  \right]\forall x\in \left[ a;b \right]$ , hơn nữa $\Large f(u)$ liên tục trên đoạn $\Large \left[ \alpha ;\beta  \right]$. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

• A.

  $\Large \int\limits_{a}^{b}{f\left[ u(x) \right]{u}'(x)dx=\int\limits_{a}^{b}{f(u)du}}$

• B.

  $\Large \int\limits_{u(a)}^{u(b)}{f\left[ u(x) \right]{u}'(x)dx=\int\limits_{a}^{b}{f(u)du}}$

• C.

  $\Large \int\limits_{a}^{b}{f\left[ u(x) \right]{u}'(x)dx=\int\limits_{u(a)}^{u(b)}{f(u)du}}$

• D.

  $\Large \int\limits_{a}^{b}{f\left[ u(x) \right]{u}'(x)dx=\int\limits_{a}^{b}{f(x)du}}$

Chọn C

Đặt $\Large u(x)=t\Rightarrow {u}'(x)dx=dt$

Đổi cận

Khi $\Large x=a$ thì $\Large t=u(a)$; Khi $\Large x=b$ thì $\Large t=u(b)$

Do đó $\Large \int\limits_{a}^{b}{f\left[ u(x) \right]{u}'(x)dx=\int\limits_{u(a)}^{u(b)}{f(t)dt=\int\limits_{u(a)}^{u(b)}{f(u)du}}}$